1. Уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости. Уравнение бернулли для нефти


1. Уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости

Лекция №6 Уравнение Бернулли

2. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли

3. Энергетическая интерпретация уравнения Бернулли

4. Уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости

5. Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

Уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости

Рассмотрим элементарную струйку идеальной жидкости при установившемся движении, в которой выделим два сечения 1-1 и 2-2. Площади живых сечений потока обозначим dω1 и dω2.Положение центров тяжести этих сечений относительно произвольно расположенной линии сравнения (нулевой линии) 0 - 0 характеризуется величинами z1 и z2. Давления и скорости жидкости в этих сечениях имеют значения P1, P2 и u1, u2 соответственно.

Будем считать, что движение струйки жидкости происходит только под действием силы давления (внутреннее трение в жидкости отсутствует), а давление обладает свойствами статического и действует по нормали внутрь рассматриваемого объёма.

За малый промежуток времениdt частицы жидкости из 1-1 переместятся в 1'-1' на расстояние, равное u1dt, а частицы из 2-2 в 2' - 2' на расстояние u2dt.

Согласно теореме кинетической энергии приращение энергии тела (в данном случае выделенного объёма жидкости) равно сумме работ всех действующих на него сил.

Работу в данном случае производят силы давления, действующие в рассматриваемых живых сечениях струйки 1-1 и 2-2, а также силы тяжести. Тогда работа сил давления в сечении 1-1 будет положительна, т.к. направление силы совпадает с направлением скорости струйки. Она будет равна произведению силы p1dω1 на путь u1dt:

.

Работа сил давления в сечении 2-2 будет отрицательной, т.к. направление силы противоположно направлению скорости. Её значение

.

Полная работа, выполненная силами давления, примет вид:

.

Работа сил тяжести равна изменению потенциальной энергии положения выделенного объёма жидкости при перемещении из сечения 1-1 в сечение 2-2. С учётом условия неразрывности потока и несжимаемости жидкости выделенные элементарные объёмы будут равны и, следовательно, будут равны их веса dG:

.

При перетекании от сечения 1-1 в сечение 2-2 центр тяжести выделенного объёма переместится на разность высот (z1 – z2) и работа, произведённая силами тяжести, составит:

.

Проанализируем теперь изменение кинетической энергии рассматриваемого объёма элементарной струйки жидкости.

Приращение кинетической энергии выделенного объёма за dt равно разности его кинетических энергий в сечениях 1-1 и 2-2. Это приращение составит

.

Приравнивая приращение кинетической энергии сумме работ сил тяжести и сил давления, придём к виду:

.

Разделив обе части на вес dG, т.е. приведя уравнение к единичному весу, получим

.

После сокращения и преобразований придём к искомому виду

Если учесть, что сечения 1-1 и 2-2 выбраны произвольно, можно прийти к выводу, что сумма приведённых выше величин описывающих движение жидкости под действием сил давления и сил тяжести есть величина постоянная для элементарной струйки, т.е.

Таким образом, снова получено то же (ранее полученное интегрированием уравнений Эйлера) уравнение Бернулли для элементарной струйки невязкой жидкости при установившемся движении под действием сил тяжести.

studfiles.net

4.4. Уравнение Даниила Бернулли для потока реальной жидкости.

Энергетический баланс потока жидкости определяется уравнением Даниила Бернулли, впервые выведенным им в 1738 г. для элементарной струйки идеальной жидкости (т.е. не имеющейся вязкости) при установившемся движении.

В последующем на основании работ как Д.Бернулли, так и других ученых (Л. Эйлера, Г. Кориолиса, Ж. Буссинеска и др.), это уравнение было сформировано для целого потока реальной жидкости, однако в истории науки оно известно как уравнение Даниила Бернулли. Для составления энергетического баланса рассмотрим поток, проходящий по трубопроводу переменного сечения от живого сечения к живому сечению(рис. 25).

hw

Рис. 25. Графическое изображение уравнения Д. Бернулли для потока реальной жидкости при установившемся движении:

1 - поток; 2 - пьезометр; 3 - трубка Пито; 4 - линия полной энергии;

- плоскость сравнения.

Рассмотрим полную удельную энергию в сечениях относительно плоскости сравнения с учетом ранее полученного уравнения (69):

Полная удельная энергия потока в сечении :

(70)

Полная удельная энергия потока в сечении :

, (71)

Показания пьезометров и скоростных трубок, установленных в сечениях и, демонстрируют, что.

Это вызвано тем, что часть энергии потока расходуется на преодоление гидравлических сопротивлений при движении жидкости от одного сечения к другому.

Величина называется удельной потерей энергии (или потерей напора) и обозначается. Отсюда на основании закона сохранения энергии запишем следующее уравнение

(72)

Полученное выражение и называется уравнением Бернулли для потока реальной жидкости.

Влияние вязкости жидкости приводит к неравномерному распределению скоростей в поперечном сечении потока (трубопровода). Поэтому уравнение (72) перепишется в следующем виде:

, (73)

где - коэффициент, характеризующий неравномерность распределения скоростей (коэффициент Кориолиса).

При равномерном движении воды в трубах и каналах небольшого поперечного сечения коэффициент Кориолиса принимается равным 1,05….1,1. В большинстве случаев при практических расчетах полагают

Каждая составляющая уравнения Бернулли имеет геометрический и энергетический смысл.

Все члены уравнения (73) имеют линейную размерность, и каждый из них может называться высотой:

- геометрическая высота, или высота положения,

- пьезометрическая высота;

- высота скоростного напора;

- высота потерь напора.

Сформулируем геометрический смысл уравнения Бернулли для потока реальной жидкости.

При установившемся потоке реальной жидкости сумма четырех высот (высота положения, пьезометрическая высота, высота скоростного напора и высота потерь напора) есть величина постоянная для любого сечения потока.

Энергетический смысл уравнения Бернулли заключается в следующем: при установившемся потоке реальной жидкости сумма четырех удельных энергий (энергии положения, энергии давления, кинетической энергии и энергии потерь) остается неизменной для любого сечения потока.

Уравнение Бернулли является основным уравнение гидродинамики, с помощью которого выводятся расчетные формулы для различных случаев движения жидкости, и решается большое количество практических задач равномерного движения жидкости в трубах и открытых руслах.

Для решения этих задач используют два основных уравнения гидродинамики:

  1. уравнение Бернулли

, (74)

  1. уравнение неразрывности потока

, (75)

При решении задач обычно по длине потока выбирают два характерных поперечных сечения (и). Горизонтальная плоскость сравнения, как правило, выбирается по оси трубопровода. При этом сечения выбираются с таким расчетом, чтобы для одного из них были известны величины,и, а для другого – одна или две из них были неизвестны и подлежали определению.

Взаимосвязь между тремя параметрами: скоростью, давлением и живым сечением послужила основой для конструирования различных гидравлических и пневматических машин, устройств и приспособлений, получивших широкое применение в технике.

studfiles.net

7.Физический смысл уравнения Бернулли .

Уравнение Бернулли дает связь между давлением (P) , средней скоростью (v) ,

И геометрической высотой в различных сечениях (z) , является основным уравнением для практических расчетов в гидродинамике. Оно записывается для двух сечений потока 1-1 и 2-2 :

Где H – полная высота или полный напор.

Геометрическая высота , характеризует потенциальную энергию положения.

пьезометрическая высота , характеризует потенциальную энергию давления .

скоростная высота характеризует кинетическую энергию жидкости .

потерянная высота.

коэффициент неравномерности скорости по потоку .

Геометрический смысл :

При установившемся движении жидкости сумма четырёх высот в каждом живом сечении есть величина постоянная и равна полной высоте (H) (полному напору )

Физический смысл:

При установившемся движении жидкости сумма четырех удельных энергий неизменна вдоль потока и равна общему запасу удельной энергии .

8.Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости.

Вязкая жидкость –это жидкость в которой при движении возникают касательные напряжения .

Уравнение Бернулли выражает закон сохранения механической энергии .

H – полный напор –это удельная механическая энергия .

Z- геометрический напор(удельная потенциальная энергия положения ) .

пьезометрический напор (удельная потенциальная энергия давления).

скоростной напор (удельная кинетическая энергия ).

потери напора (для идеальной жидкости равно 0-ю).

Для вязкой несжимаемой жидкости :

давление в сечениях 1-1 и2-2.

средние скорости.

коэффициенты учитывающие неоднородность распределения скоростей.

координаты сечений.

9.Применение уравнения Бернулли при решении технических задач.

Мощность насоса.

Уравнение Бернулли –это основное уравнение гидродинамики , с помощью которого производят расчеты течения жидкости в трубопроводах , насосах , турбинах , приборах.

Геометрическая высота , характеризует потенциальную энергию положения.

пьезометрическая высота , характеризует потенциальную энергию давления .

H- полный напор.

коэффициенты учитывающие неоднородность распределения скоростей.

скоростная высота характеризует кинетическую энергию жидкости .

Пример.

Продолжение 9

Жидкость поступает из А по В (всасывающей трубке) в насос (Н) где энергия от двигателя передается жидкости , поступающей в нагнетательную линию (С).В сечении 1-1 установлен вакуумметр (P) .За насосом установлен манометр (P).

Удельная энергия в сечении 1-1 и 2-2 :

абсолютное давление.

т.к. жидкость приобретает дополнительную энергию .

Тогда :

Мощность насоса равна N :

т.е.N = расходу (Q) умноженному на разность давлений .

10.Расходометр Вентури .

Р.В.служит для измерения расхода жидкости (Q) в трубопроводах. Р.в. состоит из 2х участков : широкого и узкого . Этот расходометр с горизонтальной осью. Проведем сечение 1-1 в широкой части и2-2 в узкой . Запишем уравнение неразрывности:

(Расход)

скорости.

площадь сечений .

Уравнение Бернулли будет :

т.к. труба горизонтальная то пренебрегаем.

Примем (коэффициент неравномерности скоростей).

исключаем из уравнения т.к. очень узкий проход 2, получаем :

находим измеряем манометрамии,

плотность ртути . Расход

studfiles.net

Уравнение Бернулли для реальной жидкости — Мегаобучалка

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости несколько отличается от уравнения

При движении реальной жидкости вследствие ее вязкости и трения происходят потери энергии. Поэтому при составлении уравнения Бернулли для двух выбранных сечений потока реальной жидкости необходимо учитывать неравномерность распределения скоростей в потоке (с помощью коэффициента Кориолиса α) и энергию потока Е1-2, расходуемую на преодоление гидравлического сопротивления в канале.

Для установившегося, плавно изменяющегося движения коэффициент неравномерности скоростей α =1,05…1,1. Если скорости в пределах живого сечения одинаковы и равны средней, то α = 1.

При движении реальной вязкой жидкости возникают силы трения, на преодоление которых жидкость затрачивает энергию. В результате полная удельная энергия жидкости в сечении 1-1 будет больше полной удельной энергии в сечении 2-2 на величину потерянной энергии (рис.2).

Рис.2. Схема к выводу уравнения Бернулли для реальной жидкости

 

Потерянная энергия или потерянный напор обозначаются и имеют также линейную размерность.

Уравнение Бернулли для реальной жидкости будет иметь вид:

Из рис.2 видно, что по мере движения жидкости от сечения 1-1 до сечения 2-2 потерянный напор все время увеличивается (потерянный напор выделен вертикальной штриховкой). Таким образом, уровень первоначальной энергии, которой обладает жидкость в первом сечении, для второго сечения будет складываться из четырех составляющих: геометрической высоты, пьезометрической высоты, скоростной высоты и потерянного напора между сечениями 1-1 и 2-2.

Кроме этого в уравнении появились еще два коэффициента α1 и α2, которые называются коэффициентами Кориолиса и зависят от режима течения жидкости ( α = 2 для ламинарного режима, α = 1 для турбулентного режима ).

Потерянная высота складывается из линейных потерь, вызванных силой трения между слоями жидкости, и потерь, вызванных местными сопротивлениями (изменениями конфигурации потока)

= hлин + hмест

Гидравлический напор струйки реальной жидкости изменяется по ее длине, т.е. Нгд const.

Изменение полной удельной энергии потока реальной жидкости при перемещении от одного сечения к другому равно удельной энергии, затраченной на преодоление сопротивления между этими сечениями.

Потери напора на единицу длины потока называются гидравлическим уклоном ir = ,

а потери пьезометрической высоты – пьезометрическим уклоном

где - длина потока.

С помощью уравнения Бернулли решается большинство задач практической гидравлики. Для этого выбирают два сечения по длине потока, таким образом, чтобы для одного из них были известны величины Р, ρ, g, а для другого сечения одна или величины подлежали определению. При двух неизвестных для второго сечения используют уравнение постоянства расхода жидкости υ1ω 1 = υ2ω2.

Для газов уравнение Бернулли и его различные виды применимы, если скорость движения газа значительно меньше скорости звука (менее 1200 км/час).

megaobuchalka.ru

УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ

32

Рис. 5.3. Тарировочный график для определения расхода воды

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6

Цель работы − изучение закона сохранения энергии при течении жидкостей и газов и экспериментальная проверка уравнения Бернулли в трубе переменного сечения.

Общие сведения

Движение идеальных (невязких) жидкостей и газов описывается уравнениями Эйлера. При стационарном баротропном их движении в поле потенциальной массовой силы одним из интегралов (решений) уравнений Эйлера является интеграл Бернулли, выражающий собой постоянство трехчлена Бернулли

33

(В = const) во всем потоке жидкости, если течение потенциально, и вдоль линии тока, если течение вихревое.

Трехчлен Бернулли представляет собой сумму кинетической энергии единицы массы жидкости V2/2, функции давленияP и потенциала плотности массовой силыΦ.

Функция давления P при баротропном движении определяется интегралом

p

dp

 

P = ∫

 

 

. Баротропным движением называется движение, при котором плот-

ρ(p)

p0

 

 

 

 

ность жидкости или газа может быть задана только функцией давления, т.е. ρ =ρ(р). Примером баротропных движений являются изотермические и адиабатические движения.

Тот факт, что плотность массовой силы f имеет потенциалФ означает, что она может быть выражена как градиент этого потенциалаfr = − Ф.

Если жидкость несжимаема (ρ = const), тоР = р/ρ + const. Если массовой силой является сила тяжести (f = gr), тоФ = gz + const (z − вертикальная коор-

дината). Поэтому для несжимаемой жидкости, движущейся в поле силы тяже-

сти, интеграл (или уравнение) Бернуллиимеет вид

V 2

+

p

+ gz= const

(6.1)

2

ρ

 

 

 

В таком виде уравнение Бернулли выражает собой закон сохранения энергии в жидкостях и газах. При стационарном движении тяжелой идеальной несжимаемой жидкостиполная удельная энергия (энергия единицы массы) жидко-

сти Е, представляющая собой сумму удельной кинетической энергии V2/2, удельной потенциальной энергиив поле силы тяжести gzи удельной энергии, связанной с работой сил давления p/ρ, есть величина постоянная. Это энергетиче-

ская интерпретация уравнения Бернулли.

Для иллюстрации геометрической интерпретации уравнения перепишем

его, разделив на g

2

 

 

 

 

V

+

p

+ z= H= const

(6.2)

2g

ρg

 

 

 

В этом случае все члены уравнения (6.2) имеют размерность длины и называются соответствующей им высотой илинапором. В виде (6.2)уравнение Бер-

нулли выражает закон постоянства полного напора в жидкости. При стацио-

нарном движении тяжелой идеальной несжимаемой жидкости полный (или гидравлический)напор (высота)Н в жидкости, представляющий собой суммуди-

намического напора (высоты) V2/2g, пьезометрического напора(высоты) p/ρg

34

и геометрического напора (высоты)z, есть величина постоянная. Отметим, что суммаp/ρg + z называетсяпотенциальным напором.

В реальной вязкой жидкости уравнение Бернулли в точной формулировке (6.1) или (6.2) не выполняется из-затого, что вследствие вязкого трения имеют место необратимые потери механической энергии, а значит и потери напора, связанные с переходом этой энергии в тепловую. Поэтому чем ниже по потоку лежит рассматриваемая точка на линии тока, тем меньше полная механическая энергия единицы массы жидкостиЕ в ней. Разность этих энергий и напоров между двумя точками 1 и 2 на линии тока определяетпотери энергии илинапора между нимиЕ1 – Е2 = ∆E, h2 – h3 = ∆H. Причем∆H = ∆E/g. Соответственно определяются и потери давления между этими точками∆p = ρg∆H = ρ∆E.

С учетом этого уравнение Бернулли для реальной жидкости записывается, например, в виде равенства полных напоров в жидкости в двух разных точках линии тока с учетом потерь напора между ними

V

2

 

p

 

 

V

2

 

p

2

 

 

 

 

 

 

1

 

+

1

+ z

==

 

2

 

+

 

+ z

2

+ ∆H

12

(6.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

2g

 

ρg

1

 

 

2g

 

ρg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В гидравлике применяется еще одно упрощающее предложение, заключающееся в том, что в данном живом сечении трубопровода, характеризующие поток жидкости величины считаются постоянными и равными некоторым средним значениям. Так средняя скорость в сечении трубы Vср определяется по объемному расходу жидкостиQ и площади сеченияS: Vср = Q/S. При определении удельной кинетической энергии потокаV2/2 по среднему значению скоростиVср вместо истинной, в уравнение Бернулли необходимо ввести поправочный коэффициент кинетической энергииα, значение которого всегда больше единицы.

С учетом этого уравнение Бернулли записывается для двух разных сечений трубы в виде:

α V

2

p

 

 

α V

2

p

2

 

 

 

 

 

1 1

+

1

+ z

==

2 2

+

 

+ z

2

+ ∆H

12

(6.4)

 

 

 

2g

 

ρg

1

 

2g

 

ρg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При турбулентном режиме течения значение α близко к единице.

Линия, которая соединяет на графике точки полного напора Н вдоль трубы, как изображено на рис.6.1 (линияЕ-Е),называетсянапорной линией или линией энергии. В идеальной жидкости это была бы горизонтальная прямаяН = Н0 =const. В реальной жидкости она понижается вдоль трубы и ее уклон определяет собой потери напора. Падение напора, приходящееся на единицу длины вдоль потока, называетсягидравлическим уклоном Il:Il =∆h22/l12.

 

 

 

 

 

 

35

 

 

 

 

H

E

 

 

 

H0

Линия Р-Р,соединяющая на

 

 

 

 

 

 

графике точки потенциального напо-

α V

2

2

α V 2

E

ра (p/ρg + z ) вдоль трубы, называет-

1 1

α2V2

ся пьезометрической линией.

Паде-

2g

2g

 

3

3

 

ние или возрастание потенциального

 

2g

 

P

 

 

напора, приходящееся на единицу

 

 

 

 

P

p1

 

 

 

 

длины вдоль потока, называется пье-

p2

 

 

 

 

зометрическим уклоном.

Поскольку

ρg

 

p3

 

 

потенциальный напор может как уве-

ρg

 

 

 

личиваться так и уменьшаться вдоль

 

 

 

ρg

 

 

потока,

постольку пьезометрический

 

 

 

 

 

 

уклон может быть как положитель-

 

 

 

 

 

 

ным, так и отрицательным.

 

 

z1

z2

 

 

z3

Потери энергии ∆Е, напора∆Н

0

l12

 

 

 

 

или давления ∆p подразделяются на

 

 

 

 

потери на трение при стабилизиро-

 

 

 

 

 

 

ванном движении жидкости на длин-

 

Рис. 6.1.

 

 

ных линейных участках труб ∆ртр и

 

 

 

 

 

 

потери

на

сравнительно

коротких

участках − местных сопротивлениях ∆рм. В обоих случаях потери давления вы-

ражаются в долях кинетической энергии единицы объема жидкости ρV 2

2 (Па)

 

 

 

∆pтр = λ

l ρV2

∆рм = ζ

ρV2

 

(6.5)

 

 

 

d

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ − коэффициент гидравлического трения; l− длина участка трубы, на котором

определяются потери давления; d − диаметр трубы;Vср − средняя скорость по-

тока; ζ − коэффициент местного сопротивления. Числовые значения коэффи-

циентов сопротивления λ,ζ для конкретных видов сопротивлений и условий

течения имеются в соответствующих справочниках.

 

 

 

Экспериментальная установка

Работа проводится на установке, подобной той, которая описана в работе №5, только вместо трубы постоянного диаметра установлена труба переменного сечения типа изображенной на рис.6.1. Пьезометрический напор в жидкости определяется по показаниям пьезометрических трубок, выведенных на общий щит и установленных в пяти разных сечениях трубы.

Геометрические характеристики трубы переменного сечения прилагаются к установке.

36

Порядок выполнения работы

1.При неподвижной жидкости показания пьезометров одинаковы. Необходимо только проследить, чтобы в них не было пузырьков воздуха.

2.Включением насоса и открытием вентиля на выходе из трубы установить определенный режим течения, при котором наблюдается заметное различие в показаниях пьезометров.

3.Для определения расхода жидкости снять показания расходомера n.

4.Снять показания всех пьезометров. При этом следует иметь в виду, что поскольку для всех пьезометров принята общая горизонтальная плоскость от-

счета 0-0,то их полные показания даютпотенциальный напор (p/ρg + z).

Обработка экспериментальных результатов

1.Определить расход воды при помощи тарировочного графика (рис. 6.2).

2.По измеренному расходу Q и известных диаметрах сечений трубыd вы-

числить средние скорости V =Q/S (S = πd2/4) в тех сечениях трубы, где установлены пьезометры.

2.Вычислить гидродинамический V2/2g и полныйH =V2/2g +p/ρg + z напоры в этих сечениях.

3.Данные измерений и вычислений занести в таблицу 6.1.

4.Построить напорную и пьезометрическую линии.

Показание ротаметра n =

 

 

(дел.)

Q =

 

м3/с

 

 

 

 

ρ =1000кг/м3,

g = 9,8м/с2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Средняя

 

Таблица 6.1

Сече-

Диаметр

Площадь

 

Показания

Динами-

Пол-

 

сечения

сечения

 

пьезометров

ско-

ческий

ный

 

ние

трубы

трубы

 

(потенциаль-

рость

напор

напор

 

трубы

 

 

 

ный напор)

м/с

V2/2g,

Н,

 

 

мм

мм2

 

 

мм

мм

мм

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

studfiles.net

4.4. Обобщенное уравнение Бернулли

Дифференциальное уравнение первого закона термодинамики в виде

применительно к движущемуся в потоке объему газа, учитывая, что теплота dq может подводиться к нему как извне, так и за счет трения, может быть записано так: .

Для вывода уравнения Бернулли запишем уравнение сохранения энергии и уравнение первого закона термодинамики в дифференциальном виде

.

Вычтем второе уравнение из первого, учитывая, что , тогда

.

Это уравнение называется обобщенным уравнением Бернулли в дифференциальной форме.

Проинтегрировав это уравнение от сечения 1-1 до сечения 2-2 (рис. 4.2), получим обобщенное уравнение Бернулли в интегральной форме.

.

Рис. 4.3

Интеграл эквивалентен пло­щади между осью ординат и кривой процесса (площадь12bа, рис. 4.3). Этот интеграл в теории газотурбинных двигателей называется работой сжатия газа в потоке. Хотя, по существу, это работа, затрачиваемая на повышение давления, т.е. на сжатие (уменьшение объема) газа и на работу по его продвижения («проталкивания») далее по потоку.

Отметим, что также называют политропной работы газового потока.

Таким образом, согласно обобщенному уравнению Бернулли внешняя работа, подведенная к газу в потоке, расходуется на работу сжатия газа, на изменение (увеличение) его кинетической энергии и на работу по преодолению трения.

Обобщенное уравнение Бернулли мо­жно интерпретировать как баланс меха­нических форм энергии в газовом пото­ке.

Наличие трения, естественно, скажется на параметрах потока. Например, при заданном уров­не понижения давления () наличие трения (), как видно из дифференциального уравнения Бернулли, понизит при­рост скорости потока. А в случае торможения потока при заданном уровне понижения скорости при наличии трения давление возрастет в меньшей степени, чем без трения, или вообще не возрастет.

Действительно, если течение газа происходит в канале (во входном устройстве, газопроводе и т.п.), в котором нет подвода (или отвода) внешней работы (), то согласно дифференциальному уравнению Бернулли

или .

Если же течение происходит при этом без трения, то

или ,

т.е. в таком случае разгон газового потока (dc > 0) возможен только за счет понижения его давления (dp < 0). Наоборот, понижение скорости при отсутствии трения будет приводить к росту давления.

Величину политропной работы газового потока в любом политропном процессе вычислим, определив значениеиз уравнения политропы и подставив его под знак интеграла. Действительно, т.к., тои тогда

.

Частные случаи обобщенного уравнения Бернулли

а) Компрессор (рис. 4.4) . Внешняя работа, подводимая к воздуху в компрессоре, . Тогда для компрессора уравнение Бернулли имеет вид

.

Таким образом, внешняя работа, подводимая к воздуху в компрессоре, расходуется на работу сжатия, изменение кинетической энергии газового потока и на преодоление сил трения.

Рис. 4.4. Схема компрессора

Рис. 4.5. Схема турбины

б) Турбина. В турбине (рис. 4.5) газ совершает работу, поэтому для турбины , и уравнение Бернулли выглядит следующим образом:

.

Так как в турбине давление газа понижается (dp < 0), то работа расширения газа .

Таким образом, в турбине работа расширения газа расходуется на создание работы на валу турбины , увеличение его кинетической энергиии на преодоление силы трения.

studfiles.net

17. Уравнение Бернулли.

Закон (уравнение) Бернулли является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:

Здесь~р — плотность жидкости,~v — скорость потока,~h — высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости,~p — давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости,~g — ускорение свободного падения.

Уравнение Бернулли также может быть выведено как следствие уравнения Эйлера, выражающего баланс импульса для движущейся жидкости.

Закон Бернулли можно применить к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда. Согласно закону Бернулли приравняем полные давления на верхней поверхности жидкости и на выходе из отверстия:

Закон Бернулли позволяет объяснить эффект Вентури: в узкой части трубы скорость течения жидкости выше, а давление меньше, чем на участке трубы большего диаметра, в результате чего наблюдается разница высот столбов жидкости h2-h3; бо́льшая часть этого перепада давлений обусловлена изменением скорости течения жидкости, и может быть вычислена по уравнению Бернулли

Применение: закон Бернулли объясняет эффект притяжения между телами, находящимися вблизи границ потоков движущихся жидкостей (газов). Иногда это притяжение может создавать угрозу безопасности. Например, при движении скоростного поезда «Сапсан» (скорость движения более 200 км/час) для людей на платформах возникает опасность сброса под поезд. Аналогично «затягивающая сила» возникает при движении судов параллельным курсом: например, подобные инциденты происходили с лайнером «Олимпик».

Автоаварии: проносящиеся мимо многотонные грузовики с прицепами притягиваются к стоящему на обочине автострады автомобилю. Это одна из опасностей, которыми объясняют запрет на остановку автомобилей на обочинах автострад.

16. Критерии Рейнольдса.

У жидкости два потока: ламинарный и турбулентный. Ламина́рное тече́ние — течение, при котором жидкость или газ перемещается слоями без перемешивания и пульсаций. Большие и маленькие водовороты и завихрения делают турбулентный поток непредсказуемым. Он возникает при большой скорости жидкости. Для каждого вида течения существует критическое число Рейнольдса, которое, как принято считать, определяет переход от ламинарного течения к турбулентному. При Re<Re(кр) течение происходит в ламинарном режиме, при Re>Re(кр) возможно возникновение турбулентности. Критическое значение числа Рейнольдса зависит от конкретного вида течения (течение в круглой трубе, обтекание шара и т. п.), различными возмущениями потока, такими как изменение направленности и модуля вектора скорости потока, шероховатость стенок, близость местных сопротивлений и др.

Q=mpWdydzdt

dQx=mpWxdxdydzdt

dQy=mpWydydxdzdt

dQz=mpWzdzdxdydt

суммируем: mp(Wxdxdydz+Wydydxdz+Wzdzdxdy)dt =dV=0

= 0 ∂p/∂t + ∂W/∂x = 0 – движение по одной оси

Позволяет менять диаметр, скорость, плотность, вязкость., при этом критерий Re=const.

studfiles.net